Question

若f′（x₀）=2，求

lim

k→0

f(x0-k)-f(x0)

2k

．

Answer 1

分析：由f′（x₀）=

lim

k→0

f[x0+(-k)]-f(x0)

-k

=2可知

lim

k→0

f(x0-k)-f(x0)

2k

=-

1

2

•

lim

k→0

f(x0-k)-f(x0)

-k

=-

1

2

f′（x₀），由此能够求出

lim

k→0

f(x0-k)-f(x0)

2k

的值．

解答：解：f′（x₀）=

lim

k→0

f[x0+(-k)]-f(x0)

-k

（这时△x=-k）．
∴

lim

k→0

f(x0-k)-f(x0)

2k

=

lim

k→0

[-

1

2

•

f(x0-k)-f(x0)

-k

]
=-

1

2

•

lim

k→0

f(x0-k)-f(x0)

-k

=-

1

2

f′（x₀）=-1．
答案：-1．

点评：本题考查导数的定义．解题时要注意f′（x₀）=

lim

△x→0

f(x0+△x)-f(x0)

△x

中△x的形式的变化，在上述变化中可以看到△x=-k，k→0?-k→0，所以f′（x₀）=

lim

k→0

f(x0-3k)-f(x0)

-3k

，还可以写成f′（x₀）=

lim

k→0

f(x0-3k)-f(x0)

-3k

或f′（x₀）=

lim

k→∞

[f（x₀+

1

k

）-f（x₀）]等．