Question

9．已知P是△ABC内一点，且$5\overrightarrow{AP}-2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow 0$，则△PAB的面积与△ABC的面积之比等于（　　）

• A． 1：3
• B． 2：3
• C． 1：5
• D． 2：5

Answer 1

分析 根据已知中，P为△ABC所在平面内一点，我们易得到$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AC}$，将AB延长至D，使长度AD=2AB，根据向量加法的平行四边形法则，我们易判断出P点在P点到AB边的距离为C点到AB边距离的$\frac{1}{5}$，进而得到△PAB的面积与△ABC的面积之比

解答 解：∵$5\overrightarrow{AP}-2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow 0$，
∴$\overrightarrow{AP}$=$\frac{2}{5}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AC}$，
将AB延长至D，使长度AD=2AB
向量$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{AB}$．
则$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{5}$$\overrightarrow{AC}$，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$S_△ADC，S_△ABP=$\frac{1}{10}$S_△ADC，
△PAB的面积与△ABC的面积之比是1：5
故选：C

点评 本题考查的知识点是向量的共线定理，其中将AB延长至D，使长度AD=2AB，然后根据平行四边形法则临到P点在P点到AB边的距离为C点到AB边距离的$\frac{1}{5}$，是解答本题的关键．