Question

【题目】已知函数
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间 上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）化简可得 = 2sinxcosx+2cos2x+2
= sin2x+cos2x+1+2
=2sin（2x+ ）+3，
∴函数f（x）的最小正周期T= =π，
由2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ 可得kπ+ ≤x≤kπ+
∴函数的单调递减区间为[kπ+ ，kπ+ ]（k∈Z）；
（Ⅱ）∵x∈ ，∴2x+ ∈[ ， ]，
∴sin（2x+ ）∈[ ，1]，
∴2sin（2x+ ）∈[﹣1，2]，
∴2sin（2x+ ）+3∈[2，5]，
∴函数的最大值和最小值分别为5，2．
【解析】（Ⅰ）由三角函数化简可得f（x）=2sin（2x+ ）+3，由周期公式可得，解不等式2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ 可得单调递减区间；（Ⅱ）由x∈ 结合三角函数的性质逐步计算可得2sin（2x+ ）+3∈[2，5]，可得最值．