Question

已知函数．

（Ⅰ）讨论函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，是否存在过点（1，－1）的直线与函数的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．

Answer 1

解析：（1）由题意 ．

当时，函数的定义域为，

，则，，则，

此时函数在上是减函数，在上是增函数，

当时，函数的定义域为，

，则，，则，

此时函数在上是减函数，在上是增函数。

（2）假设存在这样的切线，设其中一个切点，

∴切线方程：，将点坐标代入得：

，即，        ①

设，则．

令，则或。

	（0,1）	1	（1,2）	2
	+	0	-	0	+
	递增	极大值	递减	极小值	递增

所以在区间，上是增函数，在区间上是减函数，

在处取得极大值，在处取得极小值，

所以在上恒成立，即在上无解。

因为，，在区间上单调递增，根据零点定理，在区间上有且仅有一个实数根，即方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．