Question

如图，在三棱拄中，AB⊥侧面，已知AA₁=2，，

（1 ）求证：C₁B⊥平面ABC；
（2）试在棱CC₁（不包含端点C，C₁）上确定一点E的位置，使得；
（3）在（2）的条件下，求二面角的平面角的正切值．

Answer 1

证（1）因为侧面，故．  
在△BC₁C中，
由余弦定理有
故有，  
∴
而且平面ABC。
。
（2）由平面ABE
从而，且平面ABE
故
不妨设，则，则，
又∵，则  
在直角三角形BEB₁中有，  
从而x=1，
故E为CC₁的中点时，．

（3）取的中点D，的中点F，的中点N，的中点M．
连则，
连则，
连则，
连则，且为矩形，．
又．
故为所求二面角的平面角．
在中，
（∵为正三角形）．
．
．