Question

等比数列{a_n}中a₁₃=1，且a₁₂＞a₁₃，则满足（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+（a₃-

1

a3

）+…+（a_n-

1

an

）＞0的最大整数n=（　　）

• A、13
• B、24
• C、25
• D、26

Answer 1

分析：根据条件易知公比大于0小于1，因为等比数列的倒数构成的数列也是等比数列，所以先分成两组等比数列求和，然后把求和后的结果大于零进行等价转化，其中要用到a1=

a13

q12

=

1

q12

．

解答：解：∵a₁₂＞a₁₃=1，又∵公比q=

a13

a12

∴0＜q＜1
令S_n=(a1-

1

a1

)+(a2-

1

a2

)+(a3-

1

a3

)+…+(an-

1

an

)
=(a1+a2+a3+…+an)-(

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

)  
=

a1(1-qn)

1-q

-

1 a1  [1-( 1 q )n]

1- 1 q

=

a1(1-qn)

1-q

+

q a1 [1-( 1 q )n]

1-q

   要S_n＞0 即

a1(1-qn)

1-q

+

q a1 [1-( 1 q )n]

1-q

＞0，又∵1-q＞0
   即  a1(1-qn)+

q

a1

[1-(

1

q

)n]＞0，又∵a1=

a13

q12

=

1

q12

   即  

1

q12

(1-qn)+q13[1-(

1

q

)n]＞0
   即 （1-qⁿ）（1-q^25-n）＞0
要使上式成立n的最大值为24  
故选：B．

点评：本题考查了等比数列的性质，即等比数列的倒数构成的数列也是等比数列，还考查分组求和法运用，锻炼了学生的等价转化能力．总体来说对于选择题等价转化过程有点复杂是本题的难点．