Question

M为△ABC内一点，过点M的一直线交AB边于P，交AC边于点Q，则条件p：“

AB

AP

+

AC

AQ

=3”是条件q：“M点是△ABC的重心”成立的（　　）

• A、充分而不必要条件
• B、必要而不充分条件
• C、充要条件
• D、既不充分又不必要条件

Answer 1

分析：根据三角形中线段长度之间的等量关系判断出条件p成立时，条件q也成立；反之通过三角形的重心满足的性质：到顶点距离等于到对边中点的2倍判断出条件q成立得到条件p成立，利用充要条件的定义加以判断．

解答：解：①∵P为AB边上（除A外）的任意一点所以当P与B重合时，
可得，

AB

AB

+

AC

AQ

=3
∴

AC

AQ

=2，
此时Q为AC边中点，
即直线BM过AC边中点．
同理，因为Q为AC边上（除A外）的任意一点
∴当Q与C重合时，可得，

AB

AP

+

AC

AC

=3
∴

AB

AP

=2，此时P为AB边中点，
即直线CM过AB边中点
设D为AC边中点，E为AB边中点，连接ED，直线AM分别交ED、BC于G、F，
∵ED是△ABC的一条中位线，
∴

EG

BF

=

AE

AB

=

1

2

∵

EG

FC

=

EM

MC

=

DM

MB

=

ED

BC

=

1

2

，

∴

EG

BF

=

EG

FC

=

1

2

，
∴BF=FC
∵BF=FC，
∴F为BC边上中点因为直线BM过AC边中点D，直线CM过AB边中点E，直线 AM过BC边中点F
∴M为△ABC的重心．
②若已知M为重心，亦可求证：

AB

AP

+

AC

AQ

=3．
证明：作BF、CE平行于PQ，分别交AC、AB于F、E，
AM的延长分别交CE、BC、BF于G、D、H，
∵M为△ABC的重心，
∴D为BC边中点
∵BF平行于PQ，CE平行于PQ，
∴BF平行于CE
∵BD=DC，BF平行于CE，
∴GD=DH
∵M为△ABC的重心，
∴AM=2MD=MD+（MG+GD）
∵GD=DH，AM=MD+（MG+GD）
∴AM=MD+MG+DH=（MD+DH）+MG=MH+MG
∵AM=MH+MG，
∴3AM=（AM+MH）+（AM+MG）=AH+AG
∵3AM=AH+AG
∴3=

AH

AM

+

AG

AM

∵BF平行于PQ，
∴

AH

AM

=

AB

AP

∵CE平行于PQ，
∴

AG

AM

=

AC

AQ

3=

AH

AM

+

AG

AM

=

AB

AP

+

AC

AQ

∴

AB

AP

+

AC

AQ

=3
∴p是q的充要条件
故选C

点评：判断应该条件是另一个条件的什么条件，应该先判断前者成立是否能推出后者成立，反之后者成立是否能推出前者成立，再利用充要条件的定义加以判断；解决三角形的重心问题要注意三角形的重心满足的性质：到顶点距离等于到对边中点的2倍．