Question

已知，其中．
（1）当时，证明；
（2）若在区间，内各有一个根，求的取值范围；
（3）设数列的首项，前项和，，求，并判断是否为等差数列？

Answer 1

（1）详见解析；（2）；（3），不是等差数列.

试题分析：（1）根据条件中，可得，，从而考虑采用作差法来比较两者的大小：，再由条件中可知，即；（2）可将条件在区间，内各有一个根等价转化为二次函数在区间，上各有一个零点，因此利用数形结合的思想可知，需满足：
，则问题等价于在线性约束条件，求线性目标函数的取值范围，将线性约束条件表示的可行域画出，即可得；（3）由题意可知，考虑到当时，，当，
，因此数列的通项公式为
,从而可得，（），由p>0,q>0可知，故不是等差数列.
试题解析：（1），，       1分
∴，          3分
∵，∴，即，
∴；        4分
（2）抛物线的图像开口向上，且在区间，内各有一个根，
∴        6分
∴点（）组成的可行域如图所示，        8分
由线性规划知识可知，，即．        9分

（3）由题意可知，，．
当时，，∴．          10分
当时，，
∴        12分
∵，（），
∵，从而可知，，∴不是等差数列．        14分