Question

已知点A（1，1）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点，F₁，F₂是椭圆的两焦点，且满足|AF₁|+|AF₂|=4．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求过A（1，1）与椭圆相切的直线方程．

Answer 1

分析：（I）∵椭圆上的点A满足|AF₁|+|AF₂|=4．利用椭圆的定义可得2a=4，解得a=2，于是椭圆的方程为

x2

4

+

y2

b2

=1，把（1，1）代入得

1

4

+

1

b2

=1，解得即可；
（2）经验证可知：过A与x轴垂直的直线与椭圆不相切，因此切线的斜率存在．设过A（1，1）的直线方程y-1=k（x-1），与椭圆的方程联立消去y得关于x的方程：（3k²+1）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0．令△=0解得即可．

解答：解：（I）∵椭圆上的点A满足|AF₁|+|AF₂|=4．∴2a=4，解得a=2，∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

b2

=1，
把（1，1）代入得

1

4

+

1

b2

=1，解得b2=

4

3

，
∴椭圆方程为

x2

4

+

3y2

4

=1．
（II）经验证可知：过A与x轴垂直的直线与椭圆不相切，因此切线的斜率存在．
设过A（1，1）的直线方程y-1=k（x-1），由

y-1=k(x-1) x2 4 + 3y2 4 =1

，消去y得关于x的方程：（3k²+1）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0．
令△=36k²（k-1）²-4（3k²+1）（3k²-6k-1）=0，
解得k=-

1

3

，
故所求的切线方程为：x+3y-4=0．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相切问题转化为方程联立得到一元二次方程的△=0等基础知识与基本技能方法，属于难题．