Question

如图，用一块形状为半椭圆x2+

y2

4

=1（y≥0）的铁皮截取一个以短轴BC为底的等腰梯形ABCD，记所得等腰梯形的面积为S，则

1

S

的最小值是

2 3

9

．

Answer 1

分析：设D点坐标为（x，y）（x＞0），由点D在椭圆上知x2+

y2

4

=1（y≥0），得y²=4（1-x²），用x，y表示出等腰梯形ABCD的面积为S=

1

2

（|AD|+|BC|）|y|=

1

2

（2x+2）•y=（x+1）•y，将y²=4（1-x²）代入得S²=（x+1）²•y²=（x+1）²•4（1-x²）=4（-x⁴-2x³+2x+1），利用导数求此函数的最值．

解答：解：设D点坐标为（x，y）（x＞0），由点D在椭圆上知x2+

y2

4

=1（y≥0），得y²=4（1-x²）
∴等腰梯形ABCD的面积为S=

1

2

（|AD|+|BC|）|y|=

1

2

（2x+2）•y=（x+1）•y     （2分）
∴S²=（x+1）²•y²=（x+1）²•4（1-x²）=4（-x⁴-2x³+2x+1）=-4x⁴-8x³+8x+4（0＜x＜1）
（S²）′=4（-4x³-6x²+2），
令（S²）′=0，得2x³+3x²-1=0，即（x+1）²（2x-1）=0，
∵0＜x＜1，∴x=

1

2

，
又当0＜x＜

1

2

时，（S²）′＞0；当

1

2

＜x＜1时，（S²）′＜0，
∴在区间（0，1）上，S²有唯一的极大值点x=

1

2

，
∴当x=

1

2

时，S²有最大值为

27

4

；即当x=

1

2

时，S有最大值为

3 3

2

，
∴

1

S

的最小值为

1

3 3 2

=

2 3

9

故答案为：

2 3

9

点评：本题考查椭圆方程的应用，解题的关键是根据椭圆的方程消元，将面积表示成x的函数，再利用导数研究此函数的最值，此题运算量很大，属中档题．