Question

定义：若数列{A_n}满足，则称数列{A_n}为“平方递推数列”．已知数列{a_n}中，a₁=2，点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=2x²+2x的图象上，其中n为正整数．
（1）证明：数列{2a_n+1}是“平方递推数列”，且数列{lg（2a_n+1）}为等比数列．
（2）设（1）中“平方递推数列”的前n项之积为T_n，即T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），求数列{a_n}的通项及T_n关于n的表达式．
（3）记，求数列{b_n}的前n项之和S_n，并求使S_n＞2011的n的最小值．

Answer 1

（1）证明：由条件得：，
∴，
∴{2a_n+1}是“平方递推数列”． …（4分）
由lg（2a_n+1+1）=2lg（2a_n+1），
∴，
∴{lg（2a_n+1）}为等比数列． …（6分）
（2）解：∵lg（2a₁+1）=lg5，∴，
∴
∴． …（8分）
∵，
∴． …（10分）
（3）解：，…（12分）
∴
=． …（14分）
由S_n＞2011，得，
当n≤1006时，，当n≥1007时，，
因此n的最小值为1007． …（16分）
分析：（1）根据点（a_n，a_n+1）在函数f（x）=2x²+2x的图象上，可得数列递推式，再进行变形，利用定义即可得到结论；
（2）先确定，再利用对数运算，即可求得T_n关于n的表达式；
（3）因为，所以S_n=，再根据S_n＞2011，即可求得n的最小值．
点评：本题考查数列的应用，考查新定义，考查数列的通项与求和，解题的关键是理解新定义，确定数列的通项．