Question

17．在锐角△ABC中，已知AB=2，∠B=2∠C，则AC的取值范围是（　　）

• A． （2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{3}$）
• B． （2，2$\sqrt{2}$）
• C． （2$\sqrt{2}$，4）
• D． （2，2$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 根据正弦定理和B=2C及二倍角的正弦公式化简得到AC=4cosC，要求AC的范围，只需找出2cosC的范围即可，根据锐角△ABC和B=2C求出C的范围，然后根据余弦函数的增减性得到cosC的范围即可．

解答 解：∵△ABC是锐角三角形，A为锐角，
∴C+B＞$\frac{π}{2}$，由B=2C得到C+2C＞$\frac{π}{2}$，且2C=B＜$\frac{π}{2}$，
解得：$\frac{π}{6}$＜C＜$\frac{π}{4}$，
∴$\sqrt{2}$＜2cosC＜$\sqrt{3}$，
根据正弦定理$\frac{AB}{sinC}=\frac{AC}{sinB}$，B=2C，
得到$\frac{2}{sinC}=\frac{AC}{2sinCcosC}$，即AC=4cosC，
则AC的取值范围为（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{3}$）．
故选：A．

点评 此题考查了正弦定理，以及二倍角的正弦公式化简求值，本题的突破点是根据三角形为锐角三角形、内角和定理及B=2C变换角得到角的范围，属于基本知识的考查．