Question

适当排列三个实数10a²+81a+207，a+2，26-2a，使它们取常用对数后构成公差为1的等比数列，则实数a的值为

 

．

Answer 1

分析：设x=10a²+81a+207，y=a+2，z=26-2a．首先，由x＞0，y＞0，z＞0，知-2＜a＜13．其次，判断x，y，z的大小关系．由于x-y=10a²+80a+205，其判别式恒小于0，因此x-y＞0，即x＞y； 同样，x-z=10a²+83a+181的判别式也恒小于0，故x＞z．此外，y-z=3（a-8），因当a=8时，y=z 不合题意，所以分-2＜a＜8和8＜a＜13两种情况讨论．

解答：解：设x=10a²+81a+207，y=a+2，z=26-2a．首先，由x＞0，y＞0，z＞0，知-2＜a＜13．
其次，判断x，y，z的大小关系．
由于x-y=10a²+80a+205，其判别式恒小于0，因此x-y＞0，即x＞y； 同样，x-z=10a²+83a+181的判别式也恒小于0，故x＞z．此外，y-z=3（a-8），因当a=8时，y=z 不合题意，所以分-2＜a＜8和8＜a＜13两种情况讨论．
（1）当-2＜a＜8．此时y＜z，lgy，lgz，lgx构成公差为1的等差数列，所以lgx-lgz=lgz-lgy=1．
∴x=10z，z=10y
∴10a²+81a+207=10（26-2a），26-2a=10（a+2）．
∴a=

1

2

∈（-2，8）．
（2）8＜a＜13．此时y＞z，lgz，lgy，lgx构成公差为1的等差数列，所以lgy-lgz=lgx-lgy=1．
∴y=10z，x=10y
∴a+2=10（26-2a），10a²+81a+207=10（a+2）．
此时方程无解．因此只有a=

1

2

合乎题意．
故答案为：

1

2

点评：本题以数列为载体，考查等差数列，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力、分析解决问题的能力，有综合性．