Question

3．如表提供了某厂节能降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据

x	3	4	5	6
y	2.5	3	4	4.5

（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，求出y关于x的回归直线方程；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的回归直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？注：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来得到散点图；
（2）计算对应的数值，求出回归方程的系数，写出线性回归方程；
（3）利用线性回归方程计算x=100时$\stackrel{∧}{y}$的值，再求比技改前降低的吨数．

解答 解：（1）把所给的四对数据写成对应的点的坐标，在坐标系中描出来，得到散点图；
（2）计算$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（3+4+5+6）=4.5，
$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$×（2.5+3+4+4.5）=3.5，
$\sum_{i=1}^{4}$${{x}_{i}}^{2}$=3²+4²+5²+6²=86，
$\sum_{i=1}^{4}$x_iy_i=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5，
∴回归方程的系数为：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$=$\frac{66.5-4×4.5×3.5}{86-4{×4.5}^{2}}$=0.7，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=3.5-0.7×4.5=0.35，
∴所求线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=0.7x+0.35；
（3）利用线性回归方程计算x=100时，$\stackrel{∧}{y}$=0.7×100+0.35=70.35，
则90-70.35=19.65，
即比技改前降低了19.65吨．

点评 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了散点图的画法问题，是基础题目．