Question

如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体．开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径r=

3

10

毫米，滴管内液体忽略不计．
（1）如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？
（2）在条件（1）下，设输液开始后x（单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为h（单位：厘米），已知当x=0时，h=13．试将h表示为x的函数．（注：1cm³=1000mm³）

Answer 1

分析：（1）设每分钟滴下k（k∈N^*）滴，由圆柱的体积公式求出瓶内液体的体积，再求出k滴球状液体的体积，得到156分钟所滴液体体积，由体积相等得到k的值．
（2）由（1）知，每分钟滴下πcm³药液，当液面高度离进气管4至13cm时，x分钟滴下液体的体积等于大圆柱的底面积乘以（13-h），当液面高度离进气管1至4cm时，x分钟滴下液体的体积等于大圆柱的体积与小圆柱底面积乘以（4-h）的和，由此即可得到瓶内液面与进气管的距离为h与输液时间x的函数关系．

解答：解：（1）设每分钟滴下k（k∈N^*）滴，
则瓶内液体的体积V1=π•42•9+π•22•3=156πcm³，
k滴球状液体的体积V2=k•

4

3

•π•10=

40k

3

mm3=

kπ

75

cm³，
∴156π=

kπ

75

×156，解得k=75，故每分钟应滴下75滴．
（2）由（1）知，每分钟滴下πcm³药液，
当4≤h≤13时，xπ=π•4²•（13-h），即h=13-

x

16

，此时0≤x≤144；
当1≤h＜4时，xπ=π•4²•9+π•2²•（4-h），即h=40-

x

4

，此时144＜x≤156．
综上可得h(x)=

13- x 16 ， 0≤x≤144 40- x 4 ， 144＜x≤156

．

点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了简单的数学建模思想方法，解答的关键是对题意的理解，然后正确列出体积相等的关系式，属中档题．