Question

设函数f（x）=xlnx（x＞0）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）设F（x）=ax²+f′（x）（a∈R），讨论函数F（x）的单调性．

Answer 1

（1）求导函数，可得f′（x）=lnx+1（x＞0），令f′（x）=0，得x=

1

e

．
∵当x∈(0，

1

e

)时，f′（x）＜0；当x∈(

1

e

，+∞)时，f′（x）＞0，
∴当x=

1

e

时，f(x)min=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

．…（6分）
（2）F（x）=ax²+lnx+1（x＞0），F′(x)=

2ax2+1

x

（x＞0）．
①当a≥0时，恒有F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
②当a＜0时，令F′（x）＞0，得2ax²+1＞0，解得0＜x＜

- 1 2a

；
令F′（x）＜0，得2ax²+1＜0，解得x＞

- 1 2a

．
综上，当a≥0时，F（x）在（0，+∞）上是增函数；
当a＜0时，F（x）在（0，

- 1 2a

）上单调递增，在（

- 1 2a

，+∞）上单调递减．…（12分）