Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，E为CD中点．
（1）求证：B₁E⊥AD₁；
（2）在棱AA₁上是否存在一点P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
（3）若AB=2，求二面角B-AE-B₁的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）连接A₁D，B₁C，证明AD₁⊥平面A₁B₁CD，即可证得结论；
（2）取AA₁的中点P，AB₁的中点Q，连接PQ，利用三角形的中位线的性质，可得线线平行，从而可得线面平行；
（3）建立空间直角坐标系，确定平面ABE、AEB₁的一个法向量，利用向量的夹角公式，可得结论．

解答：（1）证明：连接A₁D，B₁C，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，
∴A₁D⊥AD₁，
∵A₁B₁⊥平面A₁ADD₁，
∴AD₁⊥A₁B₁，
∵A₁D∩A₁B₁=A₁，∴AD₁⊥平面A₁B₁CD，
∵B₁E?平面A₁B₁CD，
∴B₁E⊥AD₁；
（2）解：存在AA₁的中点P，使得DP∥平面B₁AE，证明如下：
取AA₁的中点P，AB₁的中点Q，连接PQ，
则PQ∥A₁B₁，且PQ=

1

2

A₁B₁，
∵DE∥A₁B₁，且DE=

1

2

A₁B₁，∴PQ∥DE且PQ=DE
∴四边形PQDE为平行四边形，∴PQ∥DE
又PD?平面AB₁E，QE⊆平面AB₁E
∴PD∥平面AB₁E
此时AP=

1

2

AA₁；
（3）解：因为AB⊥AA₁，AB⊥AD，AA₁⊥AD，建立如图所示坐标系
则A（0，0，0），A₁（0，0，1），B（2，0，0），B₁（2，0，1），E（1，1，0）
∵AA₁⊥平面ABCD，
∴平面ABE的一个法向量

n1

=（0，0，1）
设平面AEB₁的法向量为

n2

=(x，y，z)，∵

AE

=(1，1，0)，

AB1

=(2，0，1)
∵由

AE • n 1=0 AB1 • n 2=0

，得

x+y=0 2x+z=0

取x=1，y=-1，z=-2，则平面AEB₁的一个法向量为

n2

=(1，-1，-2)
∴cos＜

n

1，

n

2＞=

n 1• n 2

| n 1|| n 2|

=

-2

1× 6

=-

6

3

经检验，二面角B-AE-B₁所成平面角为锐角，其余弦值为|cos＜

n

1，

n

2＞|=

6

3

点评：本题考查线面垂直，线面平行，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，掌握线面垂直，线面平行的判定方法是关键．