Question

已知圆x²+y²=4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
（1）求线段AP中点的轨迹方程；
（2）若∠PBQ=90°，求线段PQ中点的轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出AP的中点坐标，利用中点坐标公式求出P的坐标，据P在圆上，将P坐标代入圆方程，求出中点的轨迹方程．
（2）利用直角三角形的中线等于斜边长的一半得到|PN|=|BN|，利用圆心与弦中点连线垂直弦，利用勾股定理得到
|OP|²=|ON|²+|PN|²，利用两点距离公式求出动点的轨迹方程．
解答：解：（1）设AP中点为M（x，y），
由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x-2，2y）．
∵P点在圆x²+y²=4上，∴（2x-2）²+（2y）²=4．
故线段AP中点的轨迹方程为（x-1）²+y²=1．
（2）设PQ的中点为N（x，y），
在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|，
设O为坐标原点，则ON⊥PQ，
所以|OP|²=|ON|²+|PN|²=|ON|²+|BN|²，
所以x²+y²+（x-1）²+（y-1）²=4．
故线段PQ中点的轨迹方程为x²+y²-x-y-1=0．
点评：本题考查中点坐标公式、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、圆心与弦中点的连线垂直弦、相关点法求动点轨迹方程．