Question

（12分）已知函数,，设.

（1）求的单调区间；

（2）若以图象上任意一点为切点的切线的斜率

恒成立，求实数的最小值.

（3）是否存在实数，使得函数的图象与的图

象恰好有四个不同的交点？若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1)   

（2）.（3）

【解析】

试题分析：(1)由题意可知然后直接求导，利用导数大（小）于零求其单调增（减）区间即可.

(2) 图象上任意一点为切点的切线的斜率

恒成立,其实质是恒成立.即

(3)解本小题的关键是的图象与的图象恰有四个不同交点，即有四个不同的根，

也就是有四个不同的根,然后再构造函数

利用导数研究G(x)的单调区间，极值，画出草图，从图像上观察直线y=m在什么范围内有四个不同的交点即可.

(1)    

由.

 

（2）

    当

  .

（3）若的图象与

    的图象恰有四个不同交点，

    即有四个不同的根，亦即

    有四个不同的根.

    令，

    则.

当变化时的变化情况如下表：

		-1	(-1,0)	0	(0,1)	1	(1,)
	+	0	-	0	+	0	-
	↗	极大值	↘	极小值	↗	极大值	↘

由表格知,.

画出草图和验证可知，当时，

考点：导数在研究单调区间，极值，最值当中的应用.

点评：本大题综合性难度大，解决好第（2）（3）问的关键在于转化二字，第（2）问可以转化为恒成立进一步转化一元二次函数最值问题.第（3）问关键是的图象与的图象恰有四个不同交点转化为有四个不同的根，进一步转化为有四个不同的根,然后再构造函数，利用导数研究极值最值，画出图像即可解决。