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设F1、F2分别是椭圆
x2
4
+y2=1的左、右焦点.
(1)若P是该椭圆上的一个动点,求向量乘积
PF1
PF2
的取值范围;
(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点M、N,且∠MON为锐角(其中O为坐标原点),求直线l的斜率k的取值范围.
(3)设A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值.
(1)根据题意易知a=2,b=1,c=
3
,所以F1(-
3
,0),F2(
3
,0)

设P(x,y),则
PF1
PF2
=(-
3
-x,-y)
•(
3
-x,-y)
=x2+y2-3
=x2+1-
x2
4
-3

=
1
4
(3x2-8)

故-2
PF1
PF2
≤1

(2)显然直线x=0不满足题设条件,可设直线l:y=kx-2,M(x1,y1),B(x2,y2),
联立
y=kx-2
x2
4
+y2=1
,消去y,整理得:(k2+
1
4
)x2+4kx+3=0

x1+x2=-
4k
k2+
1
4
x1x2=
3
k2+
1
4

△=(4k)2-4(k+
1
4
)×3=4k2-3>0

得:k<
3
2
或k>-
3
2

又0°<∠MON<90°?cos∠MON>0?
OM
ON
>0,
∴x1x2+y1y2>0,
又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4
=
3k2
k2+
1
4
+
-8k2
k2+
1
4
+4

=
-k2+1
k2+
1
4

3
k2+
1
4
+
-k2+1
k2+
1
4
>0

即k2<4,∴-2<k<2.
故由①、②得-2<k<-
3
2
,或
3
2
<k<2

(3)由题设,|BO|=1,|AO|=2.
设y1=kx1,y2=kx2,由x2>0,y2=-y1>0,
故四边形AEBF的面积为S=S△BEF+S△AEF=x2+2y2=
(x2+2y2)2

=
x22+4y2 2+4x2y2
2(x22+4y22)
=2
2

当x2=2y2时,上式取等号.所以S的最大值为2
2
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科目:高中数学 来源: 题型:

设F1,F2分别是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点,若在直线x=
a2
c
上存在点P,使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆的离心率的取值范围是
3
3
,1)
3
3
,1)

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科目:高中数学 来源: 题型:

设F1,F2分别是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左右焦点,若椭圆C上的一点A(1,
3
2
)到F1,F2的距离之和为4.
(1)求椭圆方程;
(2)若M,N是椭圆C上两个不同的点,线段MN的垂直平分线与x轴交于点P,求证:|
OP
|<
1
2

(3)若M,N是椭圆C上两个不同的点,Q是椭圆C上不同于M,N的任意一点,若直线QM,QN的斜率分别为KQM•KQN.问:“点M,N关于原点对称”是KQM•KQN=-
3
4
的什么条件?证明你的结论.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2009•南汇区二模)设F1、F2分别是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点,其右焦点是直线y=x-1与x轴的交点,短轴的长是焦距的2倍.
(1)求椭圆的方程;
(2)若P是该椭圆上的一个动点,求
PF1
PF2
的最大值和最小值;
(3)是否存在过点A(5,0)的直线l与椭圆交于不同的两点C、D,使得|F2C|=|F2D|?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•安徽)设椭圆E:
x2
a2
+
y2
1-a2
=1
的焦点在x轴上
(1)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;
(2)设F1,F2分别是椭圆E的左、右焦点,P为椭圆E上第一象限内的点,直线F2P交y轴于点Q,并且F1P⊥F1Q,证明:当a变化时,点P在某定直线上.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2009•南汇区二模)设F1、F2分别是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点,其右焦点是直线y=x-1与x轴的交点,短轴的长是焦距的2倍.
(1)求椭圆的方程;
(2)若P是该椭圆上的一个动点,求
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的最大值和最小值;
(3)若P是该椭圆上的一个动点,点A(5,0),求线段AP中点M的轨迹方程.

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