Question

某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形。

（1）求出f（5）；
（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式；
（3）求的值。

Answer 1

解：（1）∵f（1）=1， f（2）=5， f（3）=13， f（4）=25，
∴f（5）=25+4×4=41。
（2）∵f（2）-f（1）=4=4×1，
f（3）-f（2）=8=4×2，
f（4）-f（3）=12=4×3，
f（5）-f（4）=16=4×4，
由上式规律得出f（n+1）-f（n）=4n
∴f（n）-f（n-1）=4（n-1），
f（n-1）-f（n-2）=4·（n-2），
f（n-2）-f（n-3）=4·（n-3）
…
f（2）-f（1）=4×1，
∴f（n）-f（1）=4[（n-1）+（n-2）+…+2+1] =2（n-1）·n，
∴f（n）=2n²-2n+1。
（3）当n≥2时，

∴

。