Question

已知（x+

2

x

）ⁿ展开式中，第二项、第三项、第四项的二项式系数成等差数列，则在（x+

2

x

）ⁿ展开式中系数最大项是（　　）

A．第3项

B．第4项

C．第5项

D．第6项

Answer 1

分析：由题意可得 2

C

2 n

=

C

1 n

+

C

3 n

，解得 n=7．根据（x+

2

x

）ⁿ=(x+

2

x

)7的开式的通项公式可得第r+1项的系数为2^r•

C

r 7

．令

2r •C r 7 ≥2r+1 •C r+1 7 2r •C r 7 ≥2r-1 •C r-1 7

，可得整数r=5，从而得出结论．

解答：解：由题意可得 2

C

2 n

=

C

1 n

+

C

3 n

，解得 n=7．
在（x+

2

x

）ⁿ=(x+

2

x

)7的开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 7

•x^7-r•2^r•x-

r

2

=2^r•

C

r 7

•x7-

3r

2

，
故第r+1项的系数为2^r•

C

r 7

．
令

2r •C r 7 ≥2r+1 •C r+1 7 2r •C r 7 ≥2r-1 •C r-1 7

，可得整数r=5，
故所求的系数最大项为第六项，
故选D．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．