Question

已知定点A（0，0），动点B满足|

AB

|=5，线段AB与圆：x²+y²=9交于点P，过点B作直线l垂直于x轴，过点P作PQ⊥l，垂足为Q．
（Ⅰ）求动点B的轨迹方程；
（Ⅱ）求点Q的轨迹方程；
（III）过点A作直线m，与点Q的轨迹交于M、N两点，C为点Q的轨迹上不同于M、N的任意一点，问k_CM•k_CN是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为“动点B满足|

AB

|=5，”利用轨迹方程的直接法即可求得；
（2）利用Q点与点A，B之间的关系得到其坐标关于参数θ的关系式，消去θ即可得点Q的轨迹方程；
（3）利用直线的斜率公式，先将“k_CM•k_CN”表示成M（x₀，y₀）中坐标的函数式，结合椭圆条件化简即得．

解答：解：（1）根据题意动点B的轨迹方程是x²+y²=25（2分）
（2）设Q（x，y），B（5cosθ，5sinθ），P（3cosθ，3sinθ），（4分）
根据题意有

x=5cosθ y=3sinθ

（6分）
点Q的轨迹方程为

x2

25

+

y2

9

=1（8分）
（3）设C（x，y），由椭圆

x2

25

+

y2

9

=1是中心对称图形，M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀）kCM=

y-y0

x-x0

，kCN=

y+y0

x+x0

，（10分）kCM•kCN=

y2- y 2 0

x2- x 2 0

（11分）
又点M、C都在椭圆

x2

25

+

y2

9

=1上，
所以

x2 25 + y2 9 =1 x 2 0 25 + y 2 0 9 =1

?

x2- x 2 0

25

+

y2- y 2 0

9

=0，

y2- y 2 0

x2- x 2 0

=-

9

25

即kCM•kCN=-

9

25

是一个定值．（14分）

点评：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．