Question

已知直线过点且与抛物线交于A、B两点，以弦AB为直径的圆恒过坐标原点O.

(1)求抛物线的标准方程；
(2)设是直线上任意一点，求证：直线QA、QM、QB的斜率依次成等差数列.

Answer 1

(1)(2)详见解析.

试题分析：(1)设直线方程为，代入得
设 ，，则有,而 ,
故
即，得，所以抛物线方程为;
(2)由是直线上任意一点，可设 由(1)知 ， ，
∴= , ∵==，
==， 
+=+= 
= = == =，有等差中项的性质可知直线QA、QP、QB的斜率依次成等差数列.
试题解析：(1)设直线方程为，代入得
设 ，，则有       2分 
而 ,
故
即，得，所以抛物线方程为  6分
说明：取过M 点的特殊位置的直线求得抛物线的方程给满分.
(2)设 由(1)知 ， ，
∴= , ∵==，
==，              9分
+=+= 
= 
= == =     12分
所以直线QA、QP、QB的斜率依次成等差数列.               13分