Question

已知A、B分别是直线y=

3

3

x和y=-

3

3

x上的两个动点，线段AB的长为2

3

，P是AB的中点．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点Q（1，0）作直线l（与x轴不垂直）与轨迹C交于M、N两点，与y轴交于点R．若

RM

=λ

MQ

，

RN

=μ

NQ

，证明：λ+μ为定值．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．P是线段AB的中点，A、B分别是直线y=

3

3

x和y=-

3

3

x上的点，y1=

3

3

x1和y2=-

3

3

x2．再由|

AB

|=2

3

知动点P的轨迹C的方程为

x2

9

+y2=1．
（2）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1）．设M（x₃，y₃）、N（x₄，y₄）、R（0，y₅），则M、N两点坐标满足方程组

y=k(x-1)  x2 9 +y2=1 .

消去y并整理，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，然后利用根与系数的关系进行求解．

解答：解：（1）设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵P是线段AB的中点，∴

x= x1+x2 2 y= y1+y2 2

（2分）
∵A、B分别是直线y=

3

3

x和y=-

3

3

x上的点，
∴y1=

3

3

x1和y2=-

3

3

x2．
∴

x1-x2=2 3 y y1-y2= 2 3 3 x

（4分）
又|

AB

|=2

3

，∴（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=12．（5分）
∴12y2+

4

3

x2=12，
∴动点P的轨迹C的方程为

x2

9

+y2=1．（6分）
（2）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x-1）．（7分）
设M（x₃，y₃）、N（x₄，y₄）、R（0，y₅），
则M、N两点坐标满足方程组

y=k(x-1)  x2 9 +y2=1 .

消去y并整理，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，（9分）
∴x3+x4=

18k2

1+9k2

，①x3x4=

9k2-9

1+9k2

．②（10分）
∵

RM

=λ

MQ

，∴（x₃，y₃）-（0，y₅）=λ[（1，0）-（x₃，y₃）]．
即

x3=λ(1-x3)  y3-y5=-λy3 .

∴x₃=λ（1-x₃）．∵l与x轴不垂直，∴x₃≠1，
∴λ=

x3

1-x3

，
同理μ=

x4

1-x4

．（12分）
∴λ+μ=

x3

1-x3

+

x4

1-x4

=

(x3+x4)-2x3x4

1-(x3+x4)+x3x4

．
将①②代入上式可得λ+μ=-

9

4

．（14分）

点评：本题主要考查直线与椭圆的有关知识、求轨迹方程的方法，以及运算求解和推理论证能力．