Question

17．已知cos（$\frac{π}{3}$+α）=-$\frac{5}{13}$，且π＜α＜$\frac{3π}{2}$，则sin（$\frac{π}{6}$+$\frac{α}{2}$）=$\frac{{3\sqrt{13}}}{13}$．

Answer 1

分析 利用已知可求$\frac{2π}{3}$＜$\frac{π}{6}$+$\frac{α}{2}$＜$\frac{11π}{12}$，sin（$\frac{π}{6}$+$\frac{α}{2}$）＞0，根据二倍角公式即可得解．

解答 解：∵π＜α＜$\frac{3π}{2}$，
∴$\frac{π}{2}$＜$\frac{α}{2}$＜$\frac{3π}{4}$，$\frac{2π}{3}$＜$\frac{π}{6}$+$\frac{α}{2}$＜$\frac{11π}{12}$，sin（$\frac{π}{6}$+$\frac{α}{2}$）＞0，
∵cos（$\frac{π}{3}$+α）=1-2sin²（$\frac{π}{6}$+$\frac{α}{2}$）=-$\frac{5}{13}$，
∴解得：sin（$\frac{π}{6}$+$\frac{α}{2}$）=$\frac{{3\sqrt{13}}}{13}$．
故答案为：$\frac{{3\sqrt{13}}}{13}$．

点评 本题主要考查了二倍角公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力，属于基础题．