Question

已知实数组成的数组（x₁，x₂，x₃，…，x_n）满足条件：①

n

i=1

xi=0；     ②

n

i=1

|xi|=1．
（1）当n=2时，求x₁，x₂的值；
（2）当n=3时，求证：|3x₁+2x₂+x₃|≤1；
（3）设a₁≥a₂≥a₃≥…≥a_n，且a₁＞a_n（n≥2），求证：|

n

i=1

aixi|≤

1

2

(a1-an)．

Answer 1

分析：（1）当n=2时，通过已知条件列出方程组，然后求x₁，x₂的值；
（2）当n=3时，利用条件列出x₁+x₂+x₃=0，|x₁|+|x₂|+|x₃|=1，通过|3x₁+2x₂+x₃|=|x₁+2（x₁+x₂+x₃）-x₃|，
然后证明|3x₁+2x₂+x₃|≤1；
（3）通过a₁≥a_i≥a_n，且a₁＞a_n（i=1，2，3，…，n）．转化为|（a₁-a_i）-（a_i-a_n）|≤|（a₁-a_i）+（a_i-a_n）|=|a₁-a_n|，推出|a₁+a_n-2a_i|≤|a₁-a_n|，借助（2）的证明方法证明：|

n

i=1

aixi|≤

1

2

(a1-an)．

解答：解：（1）解：

x1+x2=0，(1) |x1|+|x2|=1. (2)

由（1）得x₂=-x₁，再由（2）知x₁≠0，且x₂≠0．
当x₁＞0时，x₂＜0．得2x₁=1，所以

x1= 1 2 x2=- 1 2 .

…（2分）
当x₁＜0时，同理得

x1=- 1 2 x2= 1 2 .

…（4分）
（2）证明：当n=3时，
由已知x₁+x₂+x₃=0，|x₁|+|x₂|+|x₃|=1．
所以|3x₁+2x₂+x₃|=|x₁+2（x₁+x₂+x₃）-x₃|=|x₁-x₃|≤|x₁|+|x₃|≤1．…（9分）
（3）证明：因为a₁≥a_i≥a_n，且a₁＞a_n（i=1，2，3，…，n）．
所以|（a₁-a_i）-（a_i-a_n）|≤|（a₁-a_i）+（a_i-a_n）|=|a₁-a_n|，
即|a₁+a_n-2a_i|≤|a₁-a_n|（i=1，2，3，…，n）．…（11分）
|

n

i=1

aixi|=|

n

i=1

aixi-

1

2

a1

n

i=1

xi-

1

2

an

n

i=1

xi|
=

1

2

|

n

i=1

(2ai-a1-an)xi|
≤

1

2

n

i=1

(|a1+an-2ai||xi|）
≤

1

2

n

i=1

(|a1-an||xi|)
=

1

2

|a1-an|

n

i=1

|xi|
=

1

2

(a1-an)．…（14分）

点评：本题考查含绝对值不等式的证明，方程组的求法，注意求和表达式的应用，考查转化思想与计算能力．