Question

设f（x）是非负值函数，对于x₁，x₂≥0，有等式f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2，求证：f（nx）=n²f（x）（n∈N^*）.

分析：所求证的函数等式是一个与正整数n有关的命题，而题设所给的条件又是一种递推关系，所以可以考虑用数学归纳法证明.

Answer 1

证明：（1）当n=1时，左边=f（1·x）=f（x），右边=1²·f（x）=f（x），所以n=1时，结论成立.

（2）假设n=k时，命题成立，即f（kx）=k²f（x），则

f［（k+1）x］=f（kx+x）

=f（kx）+f（x）+2

=k²f（x）+f（x）+2

=k²f（x）+f（x）+2kf（x）

=（k+1）²f（x）.

所以当n=k+1时，命题也成立.

综合（1）（2），可知对所有正整数n，结论成立.

点评：在证明n=k+1时，把f［（k+1）x］化成f（kx+x）是关键，因为这样能够使用题设的条件：

f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2.

把f（kx+x）化成f（kx）的表达式，从而可以利用归纳假设进行论证.

此外，f（x）=x²就是适合本题的一个例子.