Question

已知cosα=

1

7

，cos（α-β）=

13

14

，且0＜β＜α＜

π

2

（1）求tan2α的值；
（2）求cosβ

Answer 1

分析：（1）依题意可求得tanα，再利用二倍角的正切即可求得tan2α的值；
（2）由cos（α-β）=

13

14

，0＜β＜α＜

π

2

可求得sin（α-β），由于β=α-（α-β），利用两角差的余弦即可求得cosβ．

解答：解：（1）由cosα=

1

7

，0＜α＜

π

2

得：sinα=

4 3

7

，
从而tanα=4

3

…（3分）
∴tan2α=

2tanα

1-tan2α

=-

8

47

3

…（7分）
（2）由0＜β＜α＜

π

2

得0＜α-β＜

π

2

，
∵cos（α-β）=

13

14

，
∴sin（α-β）=

3 3

14

…（10分）
∴cosβ=cos[α-（α-β）]
=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）
=

1

2

…（15分）

点评：本题考查二倍角的正切，考查两角和与差的余弦函数，利用β=α-（α-β）是转化的关键，属于中档题．