Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的边长，且a²-2bccosA=（b+c）²．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若sinB+sinC=1，b=2，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）利用条件结合余弦定理，可求A的大小；
（Ⅱ）利用和差的三角函数求出b=c=2，再利用三角形的面积公式可得结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵a²-2bccosA=（b+c）²．整理可得：cosA=

a2-b2-c2-2bc

2bc

，
又∵由余弦定理可知：cosA=

b2+c2-a2

2bc

，①
∴

a2-b2-c2-2bc

2bc

=

b2+c2-a2

2bc

，整理可得：b²+c²-a²=-bc，代入①可得cosA=-

1

2

，
∵0＜A＜π
∴∠A=

2π

3

．-----------------（4分）
（Ⅱ）∵sinB+sinC=1，
∴sinB+sin（

π

3

-B）=1，-----------------（6分）
∴sinB+sin

π

3

cosB-cos

π

3

sinB=1，
∴sin

π

3

cosB+cos

π

3

sinB=1，
∴sin（B+

π

3

）=1----------------（8分）
又∵B为三角形内角，故B=C=30°．
所以b=c=2-----------------（10分）
所以S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

-----------------（12分）

点评：本题考查余弦定理的运用，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于中档题．