Question

若三角形的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则此三角形的面积为r．若四面体四个面的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，内切球的半径为R，则此四面体类似的结论为________．

Answer 1

此四面体体积为V=（S₁+S₂+S₃+S₄）R
分析：先用面积分割法，证明平面内的结论正确．然后将该命题推广到空间：若四面体四个面的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，内切球的半径为R，则此四面体的体积为：V=（S₁+S₂+S₃+S₄）R．接下来可以用体积分割的方法，类似地证明推广到空间的结论也是正确的．
解答：先证明平面内的结论正确
设△ABC的内切圆圆心为I，圆I与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，
连接ID、IE、IF，则有
∵ID与圆I相切于点D，
∴ID⊥BC，可得三角形IBC的面积为S_△IBC=BC•ID=ar，
（其中r是△ABC的内切圆半径）
同理可得：S_△IAC=AC•IE=br，S_△IAB=AB•IF=cr，
∴三角形ABC的面积为S=S_△IBC+S_△IAC+S_△IAB=ar+br+cr=
根据此结论，将其类比到空间可得：
若四面体四个面的面积分别为S₁，S₂，S₃，S₄，内切球的半径为R，则此四面体的体积为V=（S₁+S₂+S₃+S₄）R．
证明如下：
设四面体ABCD的内切球为球O，球O分别切面BCD、面ACD、面ABD、面ABC于E、F、G、H，
分别设S_△BCD、S_△ACD、S_△ABD、S_△ABC为S₁、S₂、S₃、S₄
∵球O切平面BCD于点E，
∴OE⊥平面BCD，三棱锥O-BCD的体积为V₁=S_△BCD•OE=S₁R，
同理可得：三棱锥O-BCD的体积为V₂=S_△ACD•OF=S₂R，三棱锥O-ABD的体积为V₃=S_△ABD•OG=S₃R，
三棱锥O-ABC的体积为V₄=S_△ABC•OH=S₄R
∴四面体ABCD的体积等于V=V₁+V₂+V₃+V₄=S₁R+S₂R+S₃R+S₄R=（S₁+S₂+S₃+S₄）R．
故答案为：四面体体积为V=（S₁+S₂+S₃+S₄）R
点评：本题借助于一个平面内关于内切圆半径的正确命题，通过将其推广到空间的一个结论，考查了三角形面积公式和锥体体积公式等知识点，以及用割补的方法求几何体体积的思想，属于中档题．