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若函数f(x)=ax3+blog2(x+
x2+1
)+2
在(-∞,0)上有最小值-5,(a,b为常数),则函数f(x)在(0,+∞)上
(  )
分析:先令g(x)=ax3+blog2(x+
x2+1
),判断其奇偶性,再由函数f(x)=ax3+blog2(x+
x2+1
)+2
在(-∞,0)上有最小值-5,得到函数g(x)在(-∞,0)上有最小值-7,从而有g(x)在(0,+∞)上有最大值7,则由f(x)=g(x)+2得到结论.
解答:解:令g(x)=ax3+blog2(x+
x2+1
),
其定义域为R,
又g(-x)=a(-x)3+blog2(-x+
(-x)2+1

=-[ax3+blog2(x+
x2+1
)]=-g(x)
所以g(x)是奇函数.
由根据题意:f(x)=ax3+blog2(x+
x2+1
)+2
在(-∞,0)上有最小值-5,
所以函数g(x)在(-∞,0)上有最小值-7,
由函数g(x)在(0,+∞)上有最大值7,
所以f(x)=g(x)+2在(0,+∞)上有最大值9.
故选D.
点评:本题主要考查函数的构造进而研究性质,若看到x与-x这样的信息,一般与函数的奇偶性有关.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

下列三个命题:
①若函数f(x)=sin(2x+φ)的图象关于y轴对称,则φ=
π
2

②若函数f(x)=
ax-2
x-1
的图象关于点(1,1)对称,则a=1;
③函数f(x)=|x|+|x-2|的图象关于直线x=1对称.
其中真命题的序号是
 
.(把真命题的序号都填上)

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知a>1,若函数f(x)=
ax,-1<x≤1
f(x-2)+a-1,1<x≤3
,则f[f(x)]-a=0的根的个数最多有(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

若函数f(x)=
ax,(x>1)
(4-
a
2
)x+2,(x≤1)
是R上的单调函数,则实数a取值范围为(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•资阳一模)已知函数f(x)=2lnx-x2+ax,a∈R.
(1)当a=2时,求函数f(x)的图象在x=1处的切线的方程;
(2)若函数f(x)-ax+m=0在[
1e
,e]
上有两个不等的实数根,求实数m的取值范围;
(3)若函数f(x)的图象与x轴交于不同的点A(x1,0),B(x2,0),且0<x1<x2,求证:f′(px1+qx2)<0(其中实数p,q满足0<p≤q,p+q=1)

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科目:高中数学 来源: 题型:

若函数f(x)=
ax(x>1)
(4-
a
2
)x+2(x≤1)
对于R上的任意x1≠x2都有
f(x1)-f(x2)
x1-x2
>0
,则实数a的取值范围是
 

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