Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC为正三角形，M、N、G分别是棱CC₁、AB、BC的中点．且．
（1）求证：CN∥面AMB₁；
（2）求证：B₁M⊥面AMG；
（3）求：．

Answer 1

解：（1）设AB₁的中点为P，连接NP、MP…（1分）
∵△AB₁B中，PN是中位线，∴PN∥B₁B且PN=B₁B
又∵矩形BB₁C₁C中，CM∥B₁B且CM=B₁B
∴CM∥NP且CM=NP…（2分）
∴四边形CNPM是平行四边形，可得CN∥MP…（3分）
∵CN?平面AMB₁，MP?平面AMB₁，
∴CN∥平面AMB₁…（4分）
（2）∵CC₁⊥平面ABC，CC₁⊆平面CC₁B₁B
∴平面CC₁B₁B⊥平面ABC，
∵平面CC₁B₁B∩平面ABC=BC，AG⊥BC，∴AG⊥平面CC₁B₁B，
∵B₁M⊆平面CC₁B₁B，∴B₁M⊥AG．…（5分）
∵CC₁⊥平面ABC，平面A₁B₁C₁∥平面ABC，∴CC₁⊥BC，CC₁⊥B₁C₁
设AC=2a，则CC₁=2a
在Rt△MCG中，MG=
同理可得：B₁M=a
∵BB₁∥CC₁，∴BB₁⊥平面ABC，可得BB₁⊥BC，
连接B₁G，可得B₁G=，
∴MG²+B₁M²=，∴B₁M⊥MG，…（7分）
又AG∩MG=G，∴B₁M⊥平面AMG..…（8分）
（3）结合（2）中所设数据，可得…（9分）
∵AG⊥平面BGM，∴AG是三棱锥A-B₁GM的高
∵S_△B1GM=GM×MB₁=××=a²，
∴三棱锥A-B₁GM的体积V_A-B1GM=×S_△B1GM×AG=×a²×=a³，
即V_AMB1G=V_A-B1GM=a³，…（10分）
∴…（12分）
分析：（1）设AB₁的中点为P，连接NP、MP．根据三角形△AB₁B中PN是中位线，以及矩形BB₁C₁C中M是CC₁中点，可证明出CM∥NP且CM=NP，从而四边形CNPM是平行四边形，可得CN∥MP，根据线面平行的判定定理，得到CN∥平面AMB₁．
（2）根据正三棱柱的性质，结合线面垂直的判定和性质，可得B₁M⊥AG．设AC=2a，结合题中和线面垂直的位置关系，算出MG²+B₁M²=，得出B₁M⊥MG．最后根据线面垂直的判定定理，得到B₁M⊥平面AMG．
（3）根据AG⊥平面BGM，得AG是三棱锥A-B₁GM的高．算出△B₁GM的面积并结合棱锥体积公式，可得三棱锥A-B₁GM的体积，得到V_AMB1G=V_A-B1GM=a³，而易得三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=，由此不难算出四面体AMB₁G与三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积之比．
点评：本题给出特殊三棱柱，求证线面垂直、线面平行并求多面体的体积之比，着重考查了空间线面平行的判定、线面垂直的判定与性质和锥体、柱体的体积公式等知识，属于中档题．