Question

已知直线l：x=-2，l与x轴交于点A，动点M（x，y）到直线l的距离比到点F（1，0）的距离大1．
（Ⅰ）求点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点A作直线交曲线E于B，C两点，若

AB

=2

BC

，求此直线的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，动点M（x，y）到直线x=-1和点N（1，0）的距离相等，可得等式，进而整理方程可得点M的轨迹E的方程为y²=4x．
（Ⅱ）设B（x₁，y₁）C（x₂，y₂），表示出向量的等式

AB

=2

BC

得，y₁=2（y₂-y₁），即

y2

y1

=

3

2

，所以

x2

x1

=

9

4

，联立直线与椭圆的方程并且结合根与系数的关系可得y=x1+x2=

4-4k2

k2

，x₁x₂=4，即可得到k2=

12

25

，进而求出直线方程．

解答：解：（Ⅰ）依题意，动点M（x，y）到直线x=-1和点N（1，0）的距离相等，
所以

(x-1)2+y2

=|x+1|，
即y²=4x．
所以点M的轨迹E的方程y²=4x．
（Ⅱ）设B（x₁，y₁）C（x₂，y₂），则y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
所以

AB

=(x1+2，y1)，

BC

=(x2-x1，y2-y1)．
由

AB

=2

BC

得，y₁=2（y₂-y₁），即

y2

y1

=

3

2

，所以

x2

x1

=

9

4

…①
设直线AB的方程为y=k（x+2），（k≠0），

y=k(x+2) y2=4x

消去y，得k²x²+4（k²-1）x+4k²=0，
由根与系数的关系得：x1+x2=

4-4k2

k2

…②
x₁x₂=4…③
由①、③得，x1=

4

3

，x2=3，代入②，得k2=

12

25

，
所以k=±

2 3

5

．
所以所求直线方程为y=±

2 3

5

（x+2）．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握抛物线的定义，以及掌握根与系数的关系并且熟练的利用向量的有关知识解决问题．