Question

如图，已知直线l₁：4x+y=0，直线l₂：x+y-1=0以及l₂上一点P（3，-2）．
（Ⅰ）求圆心M在l₁上且与直线l₂相切于点P的圆⊙的方程．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下；若直线l₁分别与直线l₂、圆⊙依次相交于A、B、C三点，利用代数法验证：|AP|²=|AB|•|AC|．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据圆心坐标和圆半径能导出b=-4a．设直线l₂的斜率k₂=-1，过P，C两点的直线斜率k_PC，因PC⊥l₂，k_PC=1，由此可得到所求圆的方程．
（Ⅱ）由题设条件求出A(-

1

3

，

4

3

)和圆心M（1，-4），由此能得到|AP|和|AM|，再由|AB|•|AC|=（|AM|-r）（|AM|+r）
=|AM|2-r2=

272

9

-8=

200

9

=|AP|²，化简得证答案．

解答：解：（Ⅰ）设圆心为M（a，b），半径为r，依题意，
b=-4a．（2分）
设直线l₂的斜率k₂=-1，过P，C两点的直线斜率k_PC，因PC⊥l₂，
故k_PC×k₂=-1，
∴kPC=

-2-(-4a)

3-a

=1，（4分）
解得a=1，b=-4.r=|PC|=2

2

．（5分）
所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=(2

2

)2．（6分）
（Ⅱ）联立

4x+y=0 x+y-1=0

?

x= 1 3 y= 2 3

则A(-

1

3

，

4

3

)
则|AP|2=(3+

1

3

)2+(-2-

4

3

)2=

200

9

．（8分）
圆心M（1，-4），|AM|2=(1+

1

3

)2+(-4-

4

3

)2=

272

9

|AB|•|AC|=（|AM|-r）（|AM|+r）
=|AM|2-r2=

272

9

-8=

200

9

=|AP|²．（11分）
所以|AP|²=|AB|•|AC|得到证明（12分）

点评：本题主要考查圆的几何性质，直线与圆的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和基本解题能力．