Question

点P是直线2x+y+10=0上的动点，直线PA、PB分别切圆x²+y²=4于A、B两点，则四边形PAOB（O为坐标原点）的面积的最小值=

 

．

Answer 1

分析：由题意可得，PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB则要求S_PAOB=2S_△PAO=2×

1

2

PA•AO=2PA的最小值，转化为求PA最小值，由于PA²=PO²-4，当PO最小时，PA最小，结合点到直线的距离公式可知当PO⊥l时，PO有最小值，由点到直线的距离公式可求

解答：解：由题意可得，PA=PB，PA⊥OA，PB⊥OB
S_PAOB=2S_△PAO=2×

1

2

PA•AO=2PA
又∵在Rt△PAO中，由勾股定理可得，PA²=PO²-4，当PO最小时，PA最小，此时所求的面积也最小
点P是直线l：2x+y+10=0上的动点，
当PO⊥l时，PO有最小值d=

10

5

=2

5

，PA=4
所求四边形PAOB的面积的最小值为8
故答案为：8

点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系中的重要类型：相切问题的处理方法，解题中要注意对性质的灵活应用，体现了转化思想在解题中的应用．