Question

已知集合S={1，2，3，…，2011，2012}设A是S的至少含有两个元素的子集，对于A中的任意两个不同的元素x，y（x＞y），若x-y都不能整除x+y，则称集合A是S的“好子集”．
（Ⅰ）分别判断数集P={2，4，6，8}与Q={1，4，7}是否是集合S的“好子集”，并说明理由；
（Ⅱ）证明：若A是S的“好子集”，则对于A中的任意两个不同的元素x，y（x＞y），都有x-y≥3；
（Ⅲ） 求集合S的“好子集”A所含元素个数的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用好集合的定义直接判断P={2，4，6，8}与Q={1，4，7}是否是集合S的“好子集”即可；
（Ⅱ）利用反证法证明：若A是S的“好子集”，则对于A中的任意两个不同的元素x，y（x＞y），都有x-y≥3；
（Ⅲ）设出集合S的“好子集”A，利用好集合的定义，结合（Ⅱ）的结论，推出3（n-1）≤a_n-a₁≤2011，然后求解所含元素个数的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由于4-2=2整除4+2=6，所以集合P不是集合S的“好子集”；
由于4-1=3不能整除4+1=5，7-1=6不能整除7+1=8，7-4=3不能整除7+4=11，所以集合Q是集合S的“好子集”．
（Ⅱ）（反证）首先，由于A是S“好子集”，所以x-y≠1，假设存在A中的任意两个不同的元素x，y（x＞y），使得x-y=2，则x与y同为奇数或同为偶数，从而x+y是偶数，此时，x-y=2能整除x+y，与A是S“好子集”矛盾．
故若A是S的“好子集”，则对于A中的任意两个不同的元素x，y（x＞y），都有x-y≥3；
（Ⅲ）设集合A={a₁，a₂，a₃，…，a_n}（a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n）是集合S的一个“好子集”，
令：a_i+1-a_i=b_i，（i=1，2，3，…n-1），
由（Ⅱ）知b_i≥3，（i=1，2，3，…n-1）于是：a_n-a₁=b₁+b₂+…+b_n-1≥3（n-1）．
从而：3（n-1）≤a_n-a₁≤2012-1=2011 所以：n≤671．
另一方面：取A={1，4，7，…，2008，2011}（证明是好子集），此时集合A有671个元素，且是集合S的一个“好子集”，故集合S的“好子集”A所含元素个数的最大值为671．

点评：本题考查集合的理解与应用，反证法证明命题的方法，考查逻辑推理以及计算能力．