Question

直线y=kx+1与曲线y=x³+ax+b相切于点A（1，3），则a-b=

-4

．

Answer 1

分析：由直线y=kx+1与曲线y=x³+ax+b相切于点A（1，3），把点的坐标代入直线方程求k，求出函数在x=1时的导数值，也就是k值，替换后可求a，再把点的坐标代入曲线方程求b，问题得到解决．

解答：解：由y=x³+ax+b，得y^′=（x³+ax+b）^′=3x²+a，
所以曲线y=x³+ax+b在点A（1，3）处的切线的斜率k=3×1²+a=3+a，
又点A（1，3）在直线y=kx+1上，所以3=k×1+1，所以，k=2，即3+a=2，a=-1．
又点A（1，3）在曲线y=x³+ax+b上，所以3=1³+1×（-1）+b，所以b=3．
所以a-b=-1-3=-4．
故答案为-4．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，解答此题的关键是，明确曲线在某点处的导数值就是曲线在该点处的切线的斜率，此题是中低档题．