Question

20．已知函数f（x）=ax²-x+2a-1（a＞0）．
（1）若f（x）在区间[1，2]为单调增函数，求a的取值范围；
（2）设函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式；
（3）设函数$h（x）={（\frac{1}{2}）^x}+{log_2}\frac{1}{x+1}$，若对任意x₁，x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥h（x₂）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若f（x）在区间[1，2]为单调增函数，则$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2a}≤1}\\{a＞0}\end{array}}\right.$，解得a的取值范围；
（2）分类讨论给定区间与对称轴的关系，分析出各种情况下g（x）的表达式，综合讨论结果，可得答案；
（3）不等式f（x₁）≥h（x₂）恒成立，即f（x）_min≥h（x）_max，分类讨论各种情况下实数a的取值，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（1）∵函数f（x）=ax²-x+2a-1（a＞0）的图象是开口朝上，且以直线x=$\frac{1}{2a}$为对称轴的抛物线，
若f（x）在区间[1，2]为单调增函数
则$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{2a}≤1}\\{a＞0}\end{array}}\right.$，
解得：$a≥\frac{1}{2}$…（2分）
（2）①当0＜$\frac{1}{2a}$＜1，即a＞$\frac{1}{2}$时，f（x）在区间[1，2]上为增函数，
此时g（a）=f（1）=3a-2…（6分）
②当1≤$\frac{1}{2a}$≤2，即$\frac{1}{4}≤a≤\frac{1}{2}$时，f（x）在区间[1，$\frac{1}{2a}$]是减函数，在区间[$\frac{1}{2a}$，2]上为增函数，
此时g（a）=f（$\frac{1}{2a}$）=$2a-\frac{1}{4a}-1$…（7分）
③当$\frac{1}{2a}$＞2，即0＜a＜$\frac{1}{4}$时，f（x）在区间[1，2]上是减函数，
此时g（a）=f（2）=6a-3…（8分）

综上所述：$g（a）=\left\{\begin{array}{l}6a-3，a∈（{0，\frac{1}{4}}）\\ 2a-\frac{1}{4a}-1，a∈[{\frac{1}{4}，\frac{1}{2}}]\\ 3a-2，a∈（{\frac{1}{2}，+∞}）\end{array}\right.$…（10分）
（3）对任意x₁，x₂∈[1，2]，不等式f（x₁）≥h（x₂）恒成立，
即f（x）_min≥h（x）_max，
由（2）知，f（x）_min=g（a）
又因为函数$h（x）={（\frac{1}{2}）^x}+{log_2}\frac{1}{x+1}={（{\frac{1}{2}}）^x}+{log_{\frac{1}{2}}}（x+1）$，
所以函数h（x）在[1，2]上为单调减函数，所以$h{（x）_{max}}=h（1）=\frac{1}{2}+{log_{\frac{1}{2}}}2=-\frac{1}{2}$，…（12分）

①当$0＜a＜\frac{1}{4}$时，由g（a）≥h（x）_max得：$6a-3≥-\frac{1}{2}$，解得$a≥\frac{5}{12}$，（舍去）…（13分）
②当$\frac{1}{4}≤a≤\frac{1}{2}$时，由g（a）≥h（x）_max得：$2a-\frac{1}{4a}-1≥-\frac{1}{2}$，即8a²-2a-1≥0，
∴（4a+1）（2a-1）≥0，解得$a≥\frac{1}{2}或a≤-\frac{1}{4}$
所以$a=\frac{1}{2}$…（5分）
③当$\frac{1}{2}＜a$时，由g（a）≥h（x）_max得：$3a-2≥-\frac{1}{2}$，解得$a≥\frac{1}{2}$，
所以a$＞\frac{1}{2}$
综上所述：实数a的取值范围为$[{\frac{1}{2}，+∞}）$…（16分）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．