Question

已知对一切x∈R，都有f（x）=f（2-x），且方程f（x）=0有5个不同的根x_i（i=1，2，3，4，5），则x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=    ．

Answer 1

【答案】分析：由题意可得f（1+x）=f（1-x），故函数f（x）的图象关于直线x=1对称，又知方程f（x）=0有5个不同的根，故5个交点中必有1个为1，其余4个关于直线x=1对称，由此可得答案．
解答：解：因为对一切x∈R，都有f（x）=f（2-x），故用x+1来替换式中的x可得，
f（1+x）=f（2-x-1），即f（1+x）=f（1-x），
可知函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
又知方程f（x）=0有5个不同的根，即函数f（x）的图象与x轴有5个不同的交点，
故5个交点中必有1个为1，其余4个关于直线x=1对称，
故x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=1+2+2=5．
故答案为：5
点评：本题考查函数图象的对称性，由条件得出函数的图象关于直线x=1对称式解决问题的关键，属基础题．