Question

16．若函数f（x）=x³-3x-a，当x∈[0，3]上时，m≤f（x）≤n恒成立，则n-m的最小值为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 18
• D． 20

Answer 1

分析 利用导数可求得当x∈[0，3]上时，f（x）∈[-2-a，18-a]，依题意，有[m，n]⊆[-2-a，18-a]，即m≤-2-a，n≥18-a，利用不等式的性质即可求得n-m的最小值．

解答 解：∵f（x）=x³-3x-a，
∴f′（x）=3x²-3，
∴当x∈[0，1）时，f′（x）＜0，故f（x）=x³-3x-a在区间[0，1）上单调递减；
当x∈（1，3]时，f′（x）＞0，故f（x）=x³-3x-a在区间（1，3]上单调递增；
∴当x=1时，f（x）=x³-3x-a取得极小值f（1）=-2-a，也是区间[0，3]上的最小值；
又f（0）=-a，f（3）=27-9-a=18-a，
∴f（x）_min=-2-a，f（x）_max=18-a，
∵当x∈[0，3]上时，m≤f（x）≤n恒成立，
∴[m，n]⊆[-2-a，18-a]，
即m≤-2-a，n≥18-a，
∴n-m≥18-a-（-2-a）=20，
故选：D．

点评 本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，求得当x∈[0，3]上时，f（x）∈[-2-a，18-a]，且[m，n]⊆[-2-a，18-a]是关键，也是难点，考查推理与运算能力，属于难题．