Question

设函数y=f（x）满足对任意的x∈R，f（x）≥0且f²（x+1）+f²（x）=9．已知当x∈[0，1]时，有f（x）=2-|4x-2|，则的值为________．

Answer 1

分析：由条件求得可得 f（x+2）=f（x），故函数是周期为2的周期函数，可得 =f（-），先求得f（）的值，
根据f²（x+1）+f²（x）=9，即可求得f（-）的值，从而求得 的值．
解答：∵f²（x+1）+f²（x）=9，即 f²（x+1）=9-f²（x），
∴f²（x+2）=9-f²（x+1），化简可得 f²（x+2）=9-[9-f²（x）]=f²（x）．
再由 函数y=f（x）满足对任意的x∈R，f（x）≥0，可得 f（x+2）=f（x），故函数是周期为2的周期函数．
∴=f（336-）=f（-）．
又 f²（-）=9-=9-f²（），
再由当x∈[0，1]时，有f（x）=2-|4x-2|，可得f（）=2-|4×-2|=2，
故 f²（-）=9-f²（）=9-4=5，故f（-）=，
故=f（-）=，
故答案为 ．
点评：本题主要考查了抽象函数的求值，同时考查了函数的周期性，属于中档题．