Question

12．在如图所示的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中：
（1）AB与A₁D₁是否垂直？
（2）AC与B₁D₁是否垂直？

Answer 1

分析 （1）由AB⊥AD，AB⊥AA₁可得AB⊥平面ADD₁A₁，故AB⊥A₁D₁；
（2）连结BD，则BD∥B₁D₁，由AC⊥BD可得AC⊥B₁D₁．

解答 解：（1）∵AB⊥AD，AB⊥AA₁，AB?平面ADD₁A₁，AD?平面ADD₁A₁，AD∩AA₁=A，
∴AB⊥平面平面ADD₁A₁，又∵A₁D₁?平面ADD₁A₁，
∴AB⊥A₁D₁．
（2）连结BD，
∵BB₁$\stackrel{∥}{=}$DD₁，
∴四边形BDD₁B₁是平行四边形，
∴BD∥B₁D₁，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴AC⊥B₁D₁．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，属于基础题．