Question

PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，对人体健康和大气环境质量的影响很大．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某市环保局从360天的市区PM2.5监测数据中，随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．
（1）从这15天的数据中任取3天的数据，记ξ表示空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；
（2）以这15天的PM2.5日均值来估计这360天的空气质量情况，则其中大约有多少天的空气质量达到一级．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,茎叶图

专题：概率与统计

分析：（1）由题意知N=15，M=6，n=3，ξ的可能取值为0，1，2，3，其分布列为P（ξ=k）=

C k 6 • C 3-k 9

C 3 15

，（k=0，1，2，3），由此能求出ξ的分布列．
（2）依题意知，一年中每天空气质量达到一级的概率为

2

5

，一年中空气质量达到一级的天数η～B（360，

2

5

），由此能求出一年中空气质量达到一级的天数．

解答： 解：（1）由题意知N=15，M=6，n=3，
ξ的可能取值为0，1，2，3，
其分布列为P（ξ=k）=

C k 6 • C 3-k 9

C 3 15

，（k=0，1，2，3）
∴P（ξ=0）=

C 0 6 C 3 9

C 3 15

=

84

455

，
P（ξ=1）=

C 1 6 C 2 9

C 3 15

=

216

455

，
P（ξ=2）=

C 2 6 C 1 9

C 3 15

=

135

455

，
P（ξ=3）=

C 3 6 C 0 9

C 3 15

=

20

455

，
∴ξ的分布列是：

ξ	0	1	2	3
P	84 455	216 455	135 455	20 455

（2）依题意知，一年中每天空气质量达到一级的概率为P=

6

15

=

2

5

，
一年中空气质量达到一级的天数为η，
则η～B（360，

2

5

），
∴Eη=360×

2

5

=144，
∴一年中空气质量达到一级的天数为144天．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，认真解答，避免出现计算上的错误．