Question

已知lg（3x）+lgy=lg（x+y+1）。
（1）求xy的最小值；
（2）求x+y的最小值。

Answer 1

解：由lg（3x）+lgy=lg（x+y+1），得
（1）∵x>0，y>0，
∴3xy=x+y+1≥2+1，
∴3xy-2-1≥0，
即3（）²-2-1≥0，
∴（3+1）（-1）≥0，
∴≥1，
∴xy≥1，
当且仅当x=y=1时，等号成立
∴xy的最小值为1。
（2）∵x>0，y>0，
∴x+y+1=3xy≤3·（）²，
∴3（x+y）²-4（x+y）-4≥0，
∴[3（x+y）+2][（x+y）-2]≥0，
∴x+y≥2，当且仅当x=y=1时取等号，
∴x+y的最小值为2。