Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．

（1）求证：AF∥平面PCE；
（2）求三棱锥C﹣BEP的体积．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取PC的中点G，

连接FG、EG

∴FG为△CDP的中位线

∴FG CD

∵四边形ABCD为矩形，

E为AB的中点

∴AE CD

∴FG AE

∴四边形AEGF是平行四边形

∴AF∥EG又EG平面PCE，AF平面PCE

∴AF∥平面PCE

（2）解：∵三棱锥C﹣BEP即为三棱锥P﹣BCE

∵PA⊥底面ABCD，即PA是三棱锥P﹣BCE的高

在Rt△BCE中，BE=1，BC=2，

∴三棱锥C﹣BEP的体积

VC﹣BEP=VP﹣BCE= =

【解析】（1）欲证AF∥平面PCE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AF与平面PCE内一直线平行，取PC的中点G，连接FG、EG，AF∥EG又EG平面PCE，AF平面PCE，满足定理条件；（2）三棱锥C﹣BEP的体积可转化成三棱锥P﹣BCE的体积，而PA⊥底面ABCD，从而PA即为三棱锥P﹣BCE的高，根据三棱锥的体积公式进行求解即可．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行才能正确解答此题．