练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    用单调函数的定义求函数f(x)=x3-3x的单调区间.

    思路解析:紧扣单调函数的定义是研究函数单调性的重要方法.

    解:任取x1,x2∈R,且-∞＜x1＜x2＜+∞,

    f(x1)-f(x2)=(x13-3x1)-(x23-3x2)=(x13-x23)-3(x1-x2)=(x1-x2)［(x22+x1x2+x12)-3］.

    ∵ x1＜x2,∴x1-x2＜0.令x1=x2=t,则x22+x1x2+x12-3=3t2-3=0.

    ∴t=-1,1.

    ①在区间(-∞,-1)上,x22+x1x2+x12＞3,∴ x22+x1x2+x12-3＞0.

    ∴f(x1)＜f(x2).∴函数f(x)=x3-3x在区间(-∞,-1)上是增函数；

    ②在区间(-1,-1)上,x22+x1x2+x12＜3,∴ x22+x1x2+x12-3＜0.

    ∴f(x1)＞f(x2).∴函数f(x)=x3-3x在区间(-1,1)上是减函数；

    ③在区间(1,+∞)上,x22+x1x2+x12＞3,∴ x22+x1x2+x12-3＞0.

    ∴f(x1)＜f(x2).∴函数f(x)=x3-3x2-9x在区间(1,+∞)上是增函数.

    深化升华

    利用函数的单调性的定义可以研究函数的单调区间.求单调区间的关键是找到增、减变化的分界点.在“作差”“变形”后,一部分的符号已经确定,而一部分的符号不确定,分析这一部分的符号变化就可以找到增、减分界点,而x1,x2是定义域上任意取的,在此可以认为x1,x2无限接近于某个值,再令这部分等于零即可求得增、减分界点.

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    探究函数f（x）=2x+
    8
    x
    -3在区间（0，+∞）上的最小值，并确定取得最小值时x的值．列表如下：
    x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 …
    y … 14 7 5.33 5.11 5.01 5 5.01 5.04 5.08 5.67 7 8.6 12.14 …
    （1）观察表中y值随x值变化趋势的特点，请你直接写出函数f（x）=2x+
    8
    x
    -3在区间（0，+∞）上的单调区间，并指出f（x）的最小值及此时x的值．
    （2）用单调性的定义证明函数f（x）=2x+
    8
    x
    -3在区间（0，2]上的单调性；
    （3）设函数f（x）=2x+
    8
    x
    -3在区间（0，a]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源：同步题 题型：解答题

    用导数的定义求函数f（x）=在x=1处的导数。

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    用导数的定义,求函数y=f(x)=在x=1处的导数.

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    用导数的定义,求函数y=f(x)=在x=1处的导数.

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案