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    【题目】已知三棱锥M-ABC中，MA=MB=MC=AC=，AB=BC=2，O为AC的中点，点N在边BC上，且.

    （1）证明：BO平面AMC；

    （2）求二面角N-AM-C的正弦值.

    【答案】(1)证明见解析；(2)

    【解析】

    （1）先证明，即可证明BO平面AMC；

    （2）因为两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示．求出平面与平面的法向量，代入公式即可得到结果.

    （1）如图所示：连接，

    在中：，则，.

    在中：，为的中点，则，且

    在中：，满足：

    根据勾股定理逆定理得到 相交于，

    故平面.

    （2）因为两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示．因为,，

    则，

    由所以，,

    设平面的法向量为，则

    令，得，

    因为平面，所以为平面的法向量，

    所以与所成角的余弦为．

    所以二面角的正弦值为

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援.现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得数据如下表（单位：厘米），设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米.

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    K

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

    （，其中 ）

    抗倒伏数据如下：

    143 147 147 151 153 153 157 159 160 164 166 169 174 175 175

    180 188 188 192 195 195 199 203 206 206

    易倒伏数据如下：

    151 167 175 178 181 182 186 186 187 190 190 193 194 195 198

    199 199 202 202 203

    （1）完成 2×2 列联表，并说明能否在犯错概率不超过0.01的条件下认为抗倒伏是否与玉米矮茎有关?

    （2）（i）按照分层抽样的方式，在上述样本中，从易倒伏和抗倒伏两组中抽出9株玉米，再从这9株中取出两株进行杂交试验，设取出的易倒伏玉米株数为X，求X的分布列（概率用组合数算式表示）；

    （ii）若将频率视为概率，从抗倒伏的玉米试验田中再随机取出50株，求取出的高茎玉米株数的数学期望和方差.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】为固定的整数，定义任意整数坐标点关于的余数是关于的余数.找出所有正整数数组，使得以、、、为顶点的长方形具有如下性质：

    ⅰ.长方形内整数点以为余数出现的次数相同；

    ⅱ.长方形边界上整数点以为余数出现的次数相同.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在多面体中，底面是菱形，，，且.

    （Ⅰ）求证：；

    （Ⅱ）若平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】一个正方形花圃被分成5份．

    （1）若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，己知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法?

    （2）若将6个不同的盆栽都摆放入这5个部分，且要求每个部分至少有一个盆栽，问有多少种不同的放法?

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】齐王有上等,中等,下等马各一匹；田忌也有上等,中等,下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,若有优势的马一定获胜,则齐王的马获胜的概率为（ ）

    A. B. C. D.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】下列判断正确的是（ ）

    A.若随机变量服从正态分布，，则；

    B.已知直线平面，直线平面，则“”是“”的必要不充分条件；

    C.若随机变量服从二项分布：，则；

    D.已知直线经过点，则的取值范围是

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】在2018年俄罗斯世界杯期间,莫斯科的部分餐厅经营了来自中国的小龙虾,这些小龙虾标有等级代码.为得到小龙虾等级代码数值与销售单价之间的关系,经统计得到如下数据：

    等级代码数值

    38

    48

    58

    68

    78

    88

    销售单价(元

    16.8

    18.8

    20.8

    22.8

    24

    25.8

    （1）已知销售单价与等级代码数值之间存在线性相关关系,求关于的线性回归方程(系数精确到0.1)；

    （2）若莫斯科某餐厅销售的中国小龙虾的等级代码数值为98，请估计该等级的中国小龙虾销售单价为多少元？

    参考公式：对一组数据,，····,其回归直线的斜率和截距最小二乘估计分别为：,.

    参考数据：,.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某种植物感染病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗病毒的制剂，现对20株感染了病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg)进行统计.规定：植株吸收在6mg（包括6mg）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中 “植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.

    编号

    01

    02

    03

    04

    05

    06

    07

    08

    09

    10

    11

    12

    13

    14

    15

    16

    17

    18

    19

    20

    吸收量(mg)

    6

    8

    3

    8

    9

    5

    6

    6

    2

    7

    7

    5

    10

    6

    7

    8

    8

    4

    6

    9

    （1）完成以下列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？

    吸收足量

    吸收不足量

    合计

    植株存活

    1

    植株死亡

    合计

    20

    （2）①若在该样本“吸收不足量”的植株中随机抽取3株，记为“植株死亡”的数量，求得分布列和期望；

    ②将频率视为概率，现在对已知某块种植了1000株并感染了病毒的该植物试验田里进行该药品喷雾试验，设“植株存活”且“吸收足量”的数量为随机变量，求.

    参考数据：，其中

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