Question

14．我们把离心率为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$的双曲线叫做黄金双曲线．如图，黄金双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）的两顶点为A₁，A₂，虚轴两端点为B₁，B₂，两焦点为F₁，F₂，若以A₁，A₂为直径的圆内切于菱形F₁B₁F₂B₂，切点分别为A，B，C，D，则菱形F₁B₁F₂B₂的面积S₁与矩形ABCD的面积S₂的比值$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}+2}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}-2}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

Answer 1

分析 菱形F₁B₁F₂B₂的面积S₁=2bc，求出矩形ABCD的长与宽，从而求出面积S₂=4mn=$\frac{4{a}^{2}bc}{{b}^{2}+{c}^{2}}$，由此可得结论．

解答 解：菱形F₁B₁F₂B₂的面积S₁=2bc
设矩形ABCD，BC=2n，BA=2m，∴$\frac{m}{n}$=$\frac{c}{b}$
∵m²+n²=a²，∴m=$\frac{ac}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$，n=$\frac{ab}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$
∴面积S₂=4mn=$\frac{4{a}^{2}bc}{{b}^{2}+{c}^{2}}$．
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{2{a}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}}{2bc}$
∵bc=a²=c²-b²
∴b=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$c
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{\sqrt{5}+2}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查双曲线的性质，面积的计算，解题的关键是确定几何量之间的关系．