Question

如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC∥AD，BE∥AF.

（Ⅰ）证明：C、D、F、E四点共面：

（Ⅱ）设AB=BC=BE，求二面角A-ED-B的大小.

Answer 1

解法一：

（Ⅰ）延长DC交AB的延长线于点G，由BCAD得

　　　　　

　　　延长FE交AB的延长线于，

　　　同理可得

　　　　

故即与G重合.

因此直线CD、EF相交于点G，即C、D、F、E四点共面.

（Ⅱ）设AB=1，则BC=BE=1，AD=2.

取AE中点M，则BM⊥AE，又由已知得，AD⊥平面ABEF.

故AD⊥BM，BM与平面ADE内两相交直线AD、AE都垂直.

所以BM⊥平面ADE.作MN⊥DE，垂足为N，连结BN.

由三垂线定理知BN⊥ED，为二面角A—ED—B的平面角.

　　　　　

故

所以二面角A—DE—B的大小为

解法二：

由平面ABEF⊥平面ABCD，AF⊥AB，得FA⊥平面ABCD，以A为坐标原点，

射线AB为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系A-xyz.

 

（Ⅰ）设AB=a,BC=b,BE=c,则

      B(a,0,0)、C（a,b,0）、E（a,0,c）.

      D(0,2b,0)、F (0，0，2c).

     

 故，从而由点，得

EC∥FD.

故C、D、F、E四点共面.

（Ⅱ）设AB=1，则BC=BE=1，则

  B (1,0,0)，C(1，1，0)，D（0，2，0），

E(1，0，1).

在DE上取点M，使，则

，

从而　，

又MB⊥DE.

在DE上取点N，使，则

从而　　NA⊥DE.

故与的夹角等于二面角A—DE—B的平角角，

所以二面角A—DE—B的大小为